WSK Zusammenfassung

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[bearbeiten] Definitionen

Zufallsexperiment: Experiment mit jeweils gleichen Bedingungen, beliebig oft wiederholbar. Mehrere sich gegenseitig ausschliessende Ergebnisse möglich. Ergebnisse nicht vorhersagbar, sondern Zufallsbedingt.

Bernoulli Experiment: Die WSK für das Eintreten des betrachteten Ereignisses E ist in jedem Einzelversuch gleich. In jedem Einzelversuch ist das Ergebnis unabhängig von den Ergebnissen aller anderen Versuche. Es handelt sich um zufällige Ereignisse.

Laplace Experiment: Hat nur endlich viele Elementarereignisse un alle haben die gleiche WSK (z.B. Homogener Würfel)

Elementarereignis: ein mögliches Ereignis, bei einem Würfel z.B. [1..6] Ereignisraum: Menge aller Elementarereignisse Ω

Stochastische Unabhängigkeit: $P(A | B) = P(A | \overline B ) = P(A)$

[bearbeiten] Mengenoperationen

	$B \subset A$ bzw. $A \supset B$ : B ist eine Teilmenge von A bzw A ist Obermenge von B.
	$A \cap B$ (Durchschnitt): A geschnitten mit B, also alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. B.
	$A \cup B$ (Vereinigungsmenge): A vereinigt mit B, also alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.
	$A \setminus B$ (Differenzmenge): A ohne B, also alle Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B.
	$A Δ B$ Symmetrische Differenz: A und B, aber nicht deren Durchschnitt $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$

Assoziativgesetz	$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \text{ und } A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
Distributivgesetz	$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \text{ und } A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
DeMorgan	$\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B \text{ und } \overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B$

[bearbeiten] Klassische WSK-Rechnung

$P(A)= \frac{\text{guenstige Faelle}}{\text{moegliche Faelle}} = \frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}$ $\Rrightarrow$ Bsp: 1000 Server, 15 Ausfälle pro Tag: $\frac{15}{1000}$

Geometrische WSK: Zufallsexperiment mit unendlich vielen möglichen Ergebnissen. Deren Anzahl ist proportional zu geometrischen Gebilden.

[bearbeiten] Stichproben

geg: n = Anzahl Kugeln, k = Anzahl Stichproben ges: Anzahl mögliche Kombinationen

Hinweis TI: Binominalkoeffizient kann man mit der Funktion ncr(oben, unten) berechnen

	Mit Zurücklegen	Ohne Zurücklegen
Geordnete Stichprobe / Variation / $\lbrace a,b \rbrace \ne \lbrace b,a \rbrace$	$n k$	$n \cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \binom{n}{k} \cdot k!$
Ungeordnete Stichprobe / Kombination / ${a, b} = {b, a}$	$\binom{n+k-1}{k}$	$\binom{n}{k}\frac{n!}{k!(n-k)}$
Permutation (k geordnete Klassen mit jeweils $l i$ Variationen)	$P(n)=\frac{n!}{\prod_{i=1}^k l_i!} = \frac{n!}{l_1! \cdot l_2! \cdot \ldots \cdot l_k!}$	$n!$

[bearbeiten] Mathematische Umsetzung

[bearbeiten] Definitionen

A zieht Ereignis B nach sich (impliziert)	$A \subset B$
A und B treten auf oder beide treten nicht auf:	$A = B$
A und B treten gleichzeitig auf:	$A \cap B$
Entweder A oder B oder beide treten auf:	$A \cup B$
B tritt dann ein, wenn A nicht eintritt:	$B = \overline {A}$
(paarweise) unvereinbar:	$A \cap B = \emptyset$

[bearbeiten] Grundregeln

$0 <= P(A) <= 1 \qquad P(\Omega) = 1$

Additionssatz (Eintreten von Ereignis A, Ereignis B oder beiden zusammen)
Beliebige Ereignisse: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Sich ausschliessende Ereignisse( $P(A \cap B) = \emptyset$ ): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

3 Ereignisse $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+ P(A \cap B \cap C)$

Multiplikationssatz (Eintreten von Ereignis A und Ereignis B)
Beliebige Ereignisse: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = P(B) \cdot P(A | B)$
Unabhängige Ereignisse: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Totale Wahrscheinlichkeit Gegeben sind $n$ sich paarweise ausschliessende Ereignisse $A i$ , $P(A_i \cap A_j) = \emptyset \forall i \ne j$ , der Ergebnisraum $S = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$ sowie ein Ereignis $E \in \Omega$ .
Dann ist: $P(E) = \sum_{i=1}^{n} {P(E | A_i) P(A_i)}$

[bearbeiten] Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A hängt vom Eintreten des Ereignis B ab.

$P(A | B) = {P(A \cap B) \over P(B)} \qquad P(B | A) = {P(A \cap B) \over P(A)}$

[bearbeiten] Bayes

(Wie hoch ist die Warscheinlichkeit, dass $A j$ die Ursache für das Eintreten von $E$ ist)
$P(A_j | E) = {P(A_j) P(E | A_j) \over \sum_{i=1}^{n} { P(A_i) P(E | A_i)}} \approx {P(A_j) P(E | A_j) \over P(E)}$

bei n=2: $P(A | E) = {P(A) P(E | A) \over P(A) P(E | A)+P(\overline A) P(E | \overline A)}$

[bearbeiten] Teil 2

[bearbeiten] Definitionen

[bearbeiten] Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis $\omega \in \Omega$ eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl $X (ω)$ zuordnet.

Diskrete Zufallsvariable: Eine ZV heisst diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.

Diskreter Erwartungswert (Mittelwert): $\mu \equiv E(X) = \sum_{i}x_i \cdot f(x_i)$

Diskrete Varianz (Mass für Streuung der Werte um $μ$ ): $\sigma^2 = Var(X) = \sum_{i} (x_i-\mu)^2 \cdot f(x_i) = \sum_{i} x_i^2 \cdot f(x_i)$

Diskrete Standartabweichung: $\text{Varianz }\sigma^2 = Var(X) \Rightarrow \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\sum_{i} x_i^2 \cdot f(x_i)}$

Diskrete Warscheinlichkeitsfunktion f(x): $\sum_{i=0}^\infty f(x_i)$

Diskrete Verteilungsfunktion F(x): $F(x) = \sum_{x_i \le x}f(x_i)$ Wenn wert zwischen a und b: $P(a < X \le b)=F(b)-F(a)$

Stetige Zufallsvariable: Eine ZV heist stetig, wenn sie jeden beliebigen Wert aus einem (reellen) endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann.

Stetiger Erwartungswert (Mittelwert): $\mu \equiv E(X) = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) \mathrm{d}x$

Stetige Varianz (Mass für Streuung der Werte um $μ$ ): $\sigma^2 = Var(X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \cdot f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x)\mathrm{d}x-\mu^2$

Stetige Warscheinlichkeitsfunktion f(x): Es gilt: $f (x) = F'(x)$ und $\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x = 1$

Stetige Verteilungsfunktion F(x): $F(x) = int_{-\infty}^x f(u)\mathrm{d}u$ Wenn wert zwischen a und b: $P(a \le X \le b)=\int_{a}^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)$

[bearbeiten] Bernoulli (Urnenmodell)

$P_k = { \binom K k \cdot \binom {N - K} {n - k} \over \binom N n }$ (ist immer ohne Zurücklegen)	N	alles was es zu holen gibt	36 Karten
	n	alles was ich ziehe	3 Karten
	K	Anz gute Möglichkeiten	4 Asse
	k	was ich will	1 von 4 Assen

[bearbeiten] Binominalverteilung mit Zurücklegen (Diskret)

p Wahrscheinlichkeit von $E$ , q Wahrscheinlichkeit von $\overline E$

Wir machen N Experimente, die mit der WSK p zutreffen. Wie hoch ist die WSK, dass E genau k-mal eintritt? (q=1-p)

(Reihenfolge egal, es geht nur um die Anzahl; mit Zurücklegen)

$P(k)=f(k)=\binom N k p^k q^{N-k}$

Bei N=6 k=[0..6] p=1/6 gibt das:

k	0	1	2	3	4	5	6	Σ
f(k)	0.33	0.4	0.2	0.05	0.008	~0	~0	1
F(k)	0.33	0.73	0.93	0.98	0.99	..	1	1

Verteilungsfunktion: $F(k)=\sum_{i=0}^k {f(i)}=\sum_{i=0}^k \binom N k \cdot p^k \cdot q^{N-k}$

Mittelwert: $\mu=N \cdot p$

Varianz: $\sigma^2=Var(x)=N \cdot p \cdot q=N \cdot p \cdot (1-p)$

[bearbeiten] Binominalverteilung ohne Zurücklegen (Diskret)

E = Anzahl Elemente der ersten Kategorie
D = Anzahl Elemente Gesamt
k = Anzahl Elemente unter N gezogenen

Warscheinlichkeitsfunktion: $f(k)=P(k)=\binom N k \cdot \binom E D ^k \cdot \left(\frac{D-E} D \right)^{N-k}$

[bearbeiten] Poisson Verteilung (Diskret)

Warscheinlichkeitsfunktion: $f(k)=P(k)= \left( {\lambda^k \over k!} \right) \cdot \mathrm{e}^{-\lambda}$ bei k={1,2,...,N}

Verteilungsfunktion: $F(k)=P(k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \cdot \sum_{i=0}^k {\lambda^i \over i!}$

Mittelwert: $E (x) = μ$

Varianz: $V a r (x) = σ 2 = λ$

[bearbeiten] Geometrische Verteilung (Diskret)

Eine Folge von Bernoulli Experimenten. Einzige diskrete Verteilung ohne Gedächtnis.

p = WSK für Erfolg
q = 1-p
Fragestellung: Wie gross ist die WSK  $p x$ , dass bei beliebiger Wiederholung erst beim x.ten mal E eintritt?

Warscheinlichkeitsfunktion: $f(x)=(1-p)^{x-1} \cdot p$ bei x={1,2,...}

Verteilungsfunktion: $F(x)=\sum_{i=1}^x f(x_i) = 1-(1-p)^x \text{ bei } F(\infty)=1$

Mittelwert: $E(x)=\mu={1 \over p}$

[bearbeiten] Hypergeometrische Verteilung (Diskret, Urnenmodell - Stichprobe ohne Zurücklegen)

E = Anzahl Elemente der ersten Kategorie
D = Anzahl Elemente Gesamt
k = Anzahl Elemente unter N gezogenen

Warscheinlichkeitsfunktion: $f(x)={\binom E x \cdot \binom {D-E} {k-x} \over \binom D k}$ bei x={0,1,...,D}

Verteilungsfunktion: $f(x)=\sum_{i=0}^x {\binom E x \cdot \binom {D-E} {k-i}\over \binom D k}$

Mittelwert: $E(x)=\mu=n \cdot {E \over D}$

Varianz: $\sigma^2 = Var(x) = {k \cdot E \cdot (D-E) \cdot (D-k) \over D^2 \cdot (D-1)}$

[bearbeiten] Gaussche Normalverteilung (Stetig)

Warscheinlichkeitsfunktion: $f(x)={1 \over \sqrt{2 \cdot \pi \cdot \sigma}} \cdot \mathrm{e}^{-{1 \over 2} \cdot \left( {t-\mu \over \sigma}\right)^2}$

Verteilungsfunktion: $F(x)={1 \over \sqrt{2 \cdot \pi \cdot \sigma}} \cdot \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-{1 \over 2} \cdot \left( {t-\mu \over \sigma}\right)^2} \mathrm{d}t$

[bearbeiten] Varianz usw.

ACHTUNG: Einfach mal so abgetippt aus abgeschriebenen Aufzeichnen

Erwartungswert:
$E(x) = \sum_{i=1}^N {f(x_i) \cdot x_i \quad \text{(Bsp.:)}= 1*0.33+2*0.44+3*0.2+\ldots}$

Varianz:
$var(x) = \sum_{i=1}^N (x_i^2 \cdot f(x_i)) - E(x)^2$

"G" (Abweichung?):
$G = \sqrt { var(x) }$

[bearbeiten] Referenzen

[[Kategorie:WSK]]

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Kategorie: Zusammenfassungen

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Inhaltsverzeichnis

[bearbeiten] Definitionen

[bearbeiten] Mengenoperationen

[bearbeiten] Klassische WSK-Rechnung

[bearbeiten] Stichproben

[bearbeiten] Mathematische Umsetzung

[bearbeiten] Definitionen

[bearbeiten] Grundregeln

[bearbeiten] Bedingte Wahrscheinlichkeit

[bearbeiten] Bayes

[bearbeiten] Teil 2

[bearbeiten] Definitionen

[bearbeiten] Zufallsvariable

[bearbeiten] Bernoulli (Urnenmodell)

[bearbeiten] Binominalverteilung mit Zurücklegen (Diskret)

[bearbeiten] Binominalverteilung ohne Zurücklegen (Diskret)

[bearbeiten] Poisson Verteilung (Diskret)

[bearbeiten] Geometrische Verteilung (Diskret)

[bearbeiten] Hypergeometrische Verteilung (Diskret, Urnenmodell - Stichprobe ohne Zurücklegen)

[bearbeiten] Gaussche Normalverteilung (Stetig)

[bearbeiten] Varianz usw.

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